Step-by-Step Solutions For Class 11 Maths Chapter 14 In Hindi - Free PDF Download
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Access NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 14 - गणितीय विवेचन
प्रश्नावली 14.1
1. निम्नलिखित में से कौन सा वाक्य एक कथन है? अपने उत्तर के कारण बताएं
(i) एक महिने में $35$ दिन होते है
(ii) गणित कठिन है
(iii) $5$ अदन $7$ की राशि ${\text{10 }}$ से अधिक है
(iv) एक संख्या का वर्ग एक सम संख्या है
(v) चतुर्भुज के पक्षों की लंबाई समान है
(vi) इस प्रश्न का उत्तर दो
(vii) ${\text{ - 1}}$ और $8$ का उत्पाद है
(viii) त्रिभुज के सभी आंतररक कोणों का योग ${\text{180 }}$ है
(ix) आज एक हवा भरा दिन है
(x) सभी वास्तविक संख्याएँ जटिल संख्या हैं
उत्तर:
(i) कथन: यह वाक्य गलत है क्योंकि एक महिने में $35$ दिन नहीं होते है
(ii) वाक्य: यह वाक्य इस अर्थ मैं व्यक्तिपरक है कि कुछ के लिए गणित आसान है और कुछ लिए गणित कठिन है
(iii) कथन: यह स्थिरांक $5$ के बराबर है और ${\text{12 }}$ के बराबर $7$ का योग की राशि ${\text{10 }}$ से अधिक है
(iv) कथन: यह वाक्य कभी सही और कभी गलत होता है जेसे $2$ का वर्ग एक सम संख्या है और विषम संख्या का विषम है
(v) कथन: यह वाक्य कभी सही और कभी गलत होता है क्योंकि कुछ चतुर्भुज समान है कुछ असमान होते है
(vi) वाक्य: यह एक आदेश है
(vii) कथन: यह गलत है क्योंकि ${\text{ - 1}} \times 8 = - 8$ नहीं ${\text{ 8}}$
(viii) कथन: यह सही है
(ix) वाक्य: यह विशिष्ट नहीं है कि किस दिन को हवादार दिन कहा जा रहा है
(x) कथन: यह सही है
प्रश्नावली 14.2
1. निम्नलिखित वाक्यों के ऋणात्मक लिखिए
(i) चेन्नई तमिल नाडु की राजधानी है
(ii) एक जटिल संख्या नहीं है
(iii) सभी त्रिकोण समबाहु त्रिभुज नहीं हैं
(iv) संख्या $27$ से अधिक है
(v) प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक इंताजर है
उत्तर:
(i) चेन्रई तमिलनाडु की राजधानी नहीं है
(ii) कोई जटिल संख्या है
(iii) सभी त्रिकोण समबाहु त्रिभुज हैं।
(iv) संख्या $27$ से कम है
(v) प्रत्येक प्राकृतिक संख्या पूर्णांक नहीं है
2. निम्नलिखित जोड़े एक दूसरे के नकारात्मक अंक हैं
(i) संख्या ${\text{x}}$ एक परिमेय संख्या नहीं है
संख्या ${\text{x}}$ एक अपरिमेय संख्या नहीं है
(ii) संख्या ${\text{x}}$ एक परिमेय संख्या है
संख्या ${\text{x}}$ एक अपरिमेय संख्या है
उत्तर:
(i) पहले कथन का नाकरात्मक ‘x एक परिमेय संख्या है’|
यह दूसरे कथन के समान है क्योंकि यदि कोई संख्या एक अपरिमेय संख्या नहीं हैं तो वह परिमेय संख्या होती है
अतः दोनों कथन एक दूसरे के ऋणात्मक हैं
(ii) पहले कथन का नाकरात्मक ‘x एक परिमेय संख्या नहीं है’ इसका अर्थ है कि संख्या x एक अपरिमेय संख्या है जो दूसरे कथन के समान है
कथन के समान है।
अतः दोनों कथन एक दूसरे के ऋणात्मक हैं
3. निम्नलिखित यौगिक वाक्यों के घटक वाक्यों को खोजें और अनुमान लगाएं कि वे सही हैं या गलत
(i) संख्या $3$ अभाज्य है या विषम है
(ii) सभी पूर्णांक धनात्मक या ऋणात्मक हैं
(iii) \[{\mathbf{1003}},{\mathbf{11}}\] और $5$ से विभाज्य है
उत्तर:
घटक कथन इस प्रकार हैं
(i) \[{\text{p :}}\] संख्या प्रधान है
\[{\text{q :}}\] संख्या विषम है
दोनों कथन सत्य हैं
(ii) \[{\text{p :}}\] सभी पूर्णांक धनात्मक हैं।
\[{\text{q :}}\] सभी पूर्णांक ऋणात्मक हैं
दोनों बयान झूठे हैं
(iii) \[{\text{p : 1003}}\]से विभाज्य है
\[{\text{q : 10011}}\]से विभाज्य है
\[{\text{r : 1005}}\]से विभाज्य है
कथन \[{\text{p :}}\] और \[{\text{q :}}\] असत्य हैं और कथन ${\text{r}}$ सत्य है
प्रश्नावली 14.3
1. निम्नलिखित यौगिक कथनों में से प्रत्येक के लिए पहले जोड़ने शब्दों की पहचान करें और फिर इसे यौगिक कथनों में तोड़ दें
(i) सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक हैं और सभी वास्तविक संख जटिल नहीं हैं
(ii) पूर्णांक का वर्ग धनात्मक या ऋणात्मक होता है
(iii) रेत धूप में जल्दी गर्म हो जाती है और रात में तेजी से ठंडी होती है
(iv) ${\text{x = 2}}$और ${\text{x = 3}}$ समीकरण ${\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - x - 10 = 0}}$ की जड़ें हैं
उत्तर:
(i) यहाँ, कनेक्टिंग शब्द 'और' है। घटक कथन इस प्रकार हैं
\[{\text{p :}}\] सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक हैं
\[{\text{q :}}\] सभी वास्तविक संख्याएं जटिल नहीं हैं
(ii) यहां, कनेक्टिंग शब्द 'या' है
घटक कथन इस प्रकार हैं
\[{\text{p :}}\] पूर्णांक का वर्ग धनात्मक है
\[{\text{q :}}\] एक एकीकृत का वर्ग ऋणात्मक होता है
(iii) यहाँ, शब्द 'और' है
घटक कथन इस प्रकार हैं
\[{\text{p :}}\] रेत थूप में जल्दी गर्म हो जाती है
\[{\text{q :}}\] रात में रेत तेजी से ठंडा नहीं होता है
(iv) यहां, कनेक्टिंग शब्द 'और' है
घटक कथन इस प्रकार हैं।
${\text{p :}}\;{\text{x = 2 }}$ समीकरण ${\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - x - 10 = 0}}$ की एक जड़ है ${\text{q :}}\;{\text{x = 3}}$ समीकरण ${\text{3}}{{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - x - 10 = 0}}$ की एक जड़ है
2. निम्नलिखित कथनों में परिमाणिक को पहचानिए और कथनों का नाकरात्मक लिखिए |
(i) एक संख्या मौजूद है जो इसके वर्ग के बराबर है
(ii) प्रत्येक वास्तविक संख्या ${\text{x}}$ के लिए, ${\text{x, x + 1}}$से कम है
(iii) भारत में हर राज्य के लिए एक पूंजी मौजूद है
उत्तर:
(i) परिमाणक ‘वहाँ मौजूद है’ इसका नाकरात्मक इस प्रकार है|
एक संख्या मौजूद नहीं है जो इसके वर्ग के बराबर है,
(ii) परिमाणक "प्रत्येक के लिए" है
इस कथन का नकारात्मक भाग इस प्रकार है
एक वास्तविक संख्या ${\text{x}}$ मौजूद है जैसे ${\text{x, x + 1}}$ से कम नहीं है
(iii) परिमाणक "वहां मौजूद है"
इस कथन का नकारात्मक भाग इस प्रकार है
भारत में एक राज्य मौजूद है जिसके पास पूंजी नहीं है
3: जाँच करें कि क्या निम्न कथनों की जोड़ी एक दूसरे की नकारात्मक है। उत्तर के लिए कारण दें
(i) \[{\text{x + y , y + x }}\] वास्तविक संख्याओं \[{\text{x}}\]और \[{\text{y}}\]के लिए सही
(ii) वास्तविक संख्या \[{\text{x}}\]और \[{\text{y}}\] मौजूद है जिसके लिए \[{\text{x + y , y + x }}\]
उत्तर: नकारात्मक कथन (i) इस प्रकार है
वास्तविक संख्या \[{\text{x}}\]और \[{\text{y}}\]मोजूद है जिसके लिए \[{\text{x + y , y + x }}\] के बराबर नहीं है | यह वही बयान नहीं है|
(ii) इस प्रकार दिए गए कथन एक दूसरे के ऋणात्मक नहीं है
4. यह बताएं कि क्या निम्नलिखित कथन में "या" का उपयोग अनन्य है या "समावेशी"। अपने उत्तर के कारण बताएं
(i) सूर्य उदय या चंद्रमा अस्त होता है
(ii) डाइविंग लाइसेंस के लिए आवेदन करने के लिए आपके पास राशन कार्ड या पासपोर्ट होना चाहिए
(iii) सभी पूर्णांक धनात्मक या ऋणात्मक हैं
उत्तर:
(i) यहाँ "या" अनन्य है क्योंकि सूर्य और चंद्रमा के लिए टोकरियाँ सेट करना संभव नहीं है
(ii) यहां, "या" समावेशी है क्योंकि किसी व्यक्ति के पास ड्राइविंग लाइसेंस के लिए आवेदन करने के लिए राशन कार्ड और पासपोर्ट दोनों हो सकते हैं।
(iii) यहां, "या" अनन्य है क्योंकि सभी पूर्णांक सकारात्मक और नकारात्मक दोनों नहीं हो सकते हैं
प्रश्नावली 14.4
1. पांच अलग-अलग तरीकों से एक ही अर्थ में फिर से लिखना
"यदि एक प्राकृतिक संख्या विषम है, तो इसका वर्ग भी विषम है"
उत्तर: दिए गए कथन को पांच अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है
(i) एक प्राकृतिक संख्या विषम इसका अर्थ है कि इसका वर्ग विषम है
(ii) एक प्राकृतिक संख्या विषम होती है यदि केवल उसका वर्ग विषम हो
(iii) एक प्राकृतिक संख्या विषम होने के लिए यह आवश्यक इसका वर्ग विषम हो
(iv) एक प्राकृतिक संख्या का वर्ग विषम होने के लिए , यह पर्याप्त है कि संख्या विषम है
(v) यदि किसी प्राकृतिक संख्या का वर्ग विषम नहीं है, तो प्राकृतिक संख्या विषम नहीं है
2. निम्नलिखित कथनों के गर्भनिरोधक और आक्षेप लिखिए।
(i) यदि ${\text{x}}$ एक अभाज्य संख्या है, तो ${\text{x}}$ विषम है
(ii) यदि दो रेखाएँ समानांतर हैं, तो वे एक ही समतल में प्रतिच्छेद नहीं करती हैं
(iii) कुछ ठंड का तात्पर्य है कि इसमें निम्न स्तर की है
(iv) आप ज्यामिति को समझ नहीं सकते हैं यदि आप नहीं
जानते कि समर्पण कैसे करना है
(v) ${\text{x}}$ एक सम संख्या है जिसका अर्थ है कि ${ \times 4}$ से विभाज्य है
उत्तर:
गर्भनिरोधक इस प्रकार है
(i) यदि संख्या ${\text{x}}$ विषम नहीं है, तो ${\text{x}}$ अभाज्य संख्या नहीं है इसका रूपांतरण है: यदि कोई संख्या विषम है, तो यह एक प्रमुख संख्या है
(ii) यदि दो रेखाएँ एक ही तल में बैठती हैं, तो वे समानांतर नहीं हैं। इसका आक्षेप यह है: यदि दो रेखाएँ एक ही तल में प्रतिच्छेद नहीं करती है, तो वे समानांतर होती हैं।
(iii) यदि किसी चीज का तापमान कम नहीं है, तो वह ठंडी नहीं है ऐंठन है: यदि कुछ कम तापमान पर है, तो यह ठंडा है
(iv) यदि आप जानते हैं कि कैसे कटौती की जाती है, तो आप ज्यामिति को समझ सकते हैं
ऐंठन यह है: यदि आप नहीं जानते कि कैसे घटाया जाए, तो आप ज्यामिति को समझ नहीं सकते
(v) दिए गए कथन को लिखा जा सकता है
यदि ${\text{x}}$ एक सम संख्या है, तो ${\times 4}$ से विभाज्य है
गर्भनिरोधक है: यदि ${\times 4}$ से विभाज्य नहीं है, तो ${\text{x}}$ एक सम संख्या नहीं है
यदि ${\times 4}$ से विभाज्य है, तो ${\text{x}}$ एक सम संख्या है।"
3. निम्नलिखित कथन को "यदि तो" लिखें
(i) आपको एक नौकरी मिलती है जिसका अर्थ है कि आपके पास अच्छा क्रेडिट है
(ii) यदि एक महीने तक गर्म रखा जाए तो केले के पेड़ खिल जाएंगे।
(iii) एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है यदि इसका विकर्ण प्रतिच्छेद करता है।
(iv) कक्षा में ${\text{A + }}$प्राप्त करने के लिए, यह आवश्यक है कि आप पुस्तक अभ्यास करें
उत्तर:
(i) यदि आपको नौकरी मिलती है तो आपके पास अच्छा क्रेडिट होता
(ii) यदि केले का पेड़ एक महीने तक गर्म रहता है तो केले का पेड़ फूल जाएंगा |
(iii) यदि चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे से टकराते हैं, तो यह एक समांतर चतुर्भुज है।
(iv) यदि आप कक्षा में ${\text{A + }}$ प्राप्त करना चाहते हैं, तो आप पुस्तक में सभी अभ्यास करते हैं
4. (a) और (b) में दिए गए बयान। नीचे दिए गए कथनों की पहचान गर्भनिरोधक या एक दूसरे के आक्षेप के रूप में करें
(a) यदि आप डेल्ही में रहते हैं, तो आपके पास सर्दियों का मौसम है
(i) यदि आपके पास सर्दियों के कपड़े नहीं है, तो आप दिल्ली में नहीं रहते हैं
(ii) यदि आपके पास सर्दियों के कपड़े हैं, तो आप दिल्ली में रहते हैं
(b) यदि एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो इसके विकर्ण एक दूसरे को काटते हैं
(i) यदि चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे से नहीं टकराते हैं, तो चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज नहीं है
(ii) यदि चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे से टकराते हैं, तो यह एक समांतर चतुर्भुज है
उत्तर:
(i) यह दिए गए कथन का गर्भनिरोधक है (a)
(ii) यह दिए गए कथन का अनुलोम (a) है
(i) यह दिए गए कथन का गर्भनिरोधक है (b)
(ii) यह दिए गए कथन का बोधक है (b)
प्रश्नावली 14.5
1. सिद्ध कीजिए कि कथन यदि${\text{x}}$ एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि ${{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{ + 4x = 0}}$तो ${\text{x = 0}}$
(i) प्रत्यक्ष विधि द्वारा
(ii) विरोधोक्ति द्वारा
(iii) प्रतिधनात्मक कथन द्वारा
उत्तर:
(i) प्रत्यक्ष विधि द्वारा
${{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{ + 4x = 0}}$
${\text{x}}\left( {{{\text{x}}^{^{\text{2}}}}{\text{ + 4}}} \right){\text{ = 0}}$
${{\text{x}}^{^{\text{2}}}}{\text{ + 4 = 0 }}$अथवा ${\text{x = 0}}$
चूँकि ${\text{x }}$ एक वास्तविक संख्या है अतः ${{\text{x}}^{^{\text{2}}}}{\text{ + 4 }} \ne {\text{ 0 }}$
अतः ${\text{x = 0}}$
(ii) विरोधोक्ति द्वारा
यदि समीकरण ${{\text{x}}^{\text{3}}}{\text{ + 4x = 0}}$ का एक मूल ${\text{a}}$ है तो
${{\text{a}}^{\text{3}}}{\text{ + 4a = 0}}$
${\text{a}}\left( {{{\text{a}}^{^{\text{2}}}}{\text{ + 4}}} \right){\text{ = 0}}$
${{\text{a}}^{^{\text{2}}}}{\text{ + 4 = 0 }}$अथवा ${\text{a = 0}}$
चूँकि ${\text{x }}$ एक वास्तविक संख्या है अतः ${{\text{a}}^{^{\text{2}}}}{\text{ + 4 }} \ne {\text{ 0 }}$
अतः ${\text{p = 0}}$ या ${\text{x = 0}}$
(iii) प्रतिधनात्मक कथन द्वारा
माना ${\text{x = 0}}$ सत्य नहीं है तो
${{\text{x}}^{^{\text{2}}}}{\text{ + 4 }} \ne {\text{ 0 }}$
${\text{x}}\left( {{{\text{x}}^{^{\text{2}}}}{\text{ + 4}}} \right){\text{ }} \ne {\text{ 0}}$
इससे सिद्ध होता है कि ${{\text{x}}^{^{\text{2}}}}{\text{ + 4 }} \ne {\text{ 0 }}$का मूल ${\text{x = 0}}$ है
2. प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि कथन 'किसी भी ऐसी वास्तविक संख्याओं ${\text{a}}$ और $\;{\text{b}}$ के लिए, जहाँ ${{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{ = }}{{\text{b}}^{\text{2}}}$ का तात्पर्य है कि सत्य नहीं है।
उत्तर: माना जब ${\text{a = 1, b = - 1}}$
तो ${{\text{a}}^{\text{2}}}{\text{ = }}{{\text{b}}^{\text{2}}}$
यहाँ ${\text{a}}$ के दो मान ${\text{b}}$ और ${\text{ - b}}$ हैं अतः दिया नहीं है
3. प्रतिधनात्मक विधि द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य है,
${\text{p:}}$ यदि ${\text{x}}$ एक पूर्णांक है और ${{\text{x}}^{\text{2}}}$ सम है, तो ${\text{x}}$ भी सम है।
उत्तर:
माना ${\text{x}}$ एक सम संख्या नहीं है।
तो $\begin{align} {\text{x = 2p + 1}} \hfill \\ {{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ = (2p + 1}}{{\text{)}}^{\text{2}}}{\text{ }} \hfill \\ {\text{ = 4}}{{\text{p}}^{\text{2}}}{\text{ + 1 + 4p }} \hfill \\ {\text{ = 2}}\left( {{\text{2}}{{\text{p}}^{\text{2}}}{\text{ + 2p}}} \right){\text{ + 1 }} \hfill \\ \end{align} $
प्राप्त मान एक विषम संख्या है।
इस आधार पर यदि ${\text{p }}$ सत्य नहीं है तो ${\text{q}}$ भी सत्य नहीं है
अतः दिया गया कथन सत्य है।
4. प्रत्युदाहरण द्वारा सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य नहीं हैं,
(i) ${\text{p:}}$यदि किसी त्रिभुज के कोण समान हैं, तो त्रिभुज एक अधिक कोण त्रिभुज है।
(ii) ${\text{q:}}$ समीकरण ${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 1 = 0}}$ के मूल ${\text{0}}$ और ${\text{2}}$ के बीच स्थित नहीं हैं।
उत्तर:
(i) माना त्रिभुज का एक कोण $ = {\text{90}} + \theta$
यदि तीनों कोण समान हों तो कोणों का योग ${\text{ = 3}}( {\text{90}} + \theta ){\text{ = 270 }} + 3\theta$
जो कि ${\text{180}}$ से अधिक है |
अतः त्रिभुज कोई भी कोण अधिक कोण नहीं हो सकता है। अतः दिया गया कथन कथन सत्य नहीं हैं,
(ii) ${\text{0}}$ और ${\text{2}}$ के बीच कि संख्या $1$ लेने पर
समीकरण ${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ - 1 = 0}}$ में ${\text{x = 1}}$ रखने पर
${\text{1 - 1 = 0}}$
अतः ${\text{x = 1}}$समीकरण का एक मूल जो ${\text{0}}$ और${\text{2}}$ के बीच है अतः दिया गया कथन सत्य नहीं है|
5. निम्नलिखित कथनों में से कौन से सत्य हैं और कौन से असत्य हैं?
प्रत्येक दशा में अपने उत्तर के लिए वैध कारण बतलाइये:
(i) ${\text{p:}}$ किसी वृत्त की प्रत्येक त्रिज्या वृत्त की जीवा होती है।
(ii) ${\text{q:}}$ किसी वृत्त का केंद्र वृत्त की प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित करता है।
(iii) ${\text{r:}}$ एक वृत्त, किसी दीर्घवृत्त की विशेष स्थिति है।
(iv) ${\text{s:}}$ यदि ${\text{x}}$ और ${\text{y}}$ ऐसे पूर्णांक हैं कि ${\text{x > y}}$ तो ${\text{ - x < - y }}$ है
(v) ${\text{t: }}\sqrt {{\text{11}}} $ एक परिमेय संख्या है।
उत्तर: (i) त्रिज्या का एक सिरा केंद्र पर ओर दूसरा सिरा वृत्त पर होता हो तो वह जीवा नहीं होती है। अत: यह वृत्त की जीवा नहीं है।
(ii) वृत्त का केंद्र केवल व्यास को समद्विभाजित करता है। प्रत्येक जीवा केंद्र से होकर नहीं जाती है। अत: वृत्त का केंद्र प्रत्येक जीवा को समद्विभाजित नहीं करता है।
(iii) दीर्घवृत्त का समीकरण $\dfrac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{a}}^{\text{2}}}}}{\text{ + }}\dfrac{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{b}}^{\text{2}}}}}{\text{ = 1}}$
जब ${\text{a = b}}$ तो
$\dfrac{{{{\text{x}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{a}}^{\text{2}}}}}{\text{ + }}\dfrac{{{{\text{y}}^{\text{2}}}}}{{{{\text{b}}^{\text{2}}}}}{\text{ = 1}}$
${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ + }}{{\text{y}}^{\text{2}}}{\text{ = }}{{\text{a}}^{\text{2}}}$
जो कि वृत्त का समीकरण है।
(iv) असामिकाओं के नियम से
यदि ${\text{x}}$ और ${\text{y}}$ ऐसे पूर्णांक हैं कि ${\text{x > y}}$ तो ${\text{x - < - y}}$ है
अतः यह कथन सत्य है।
(v) $\sqrt {11} $एक अपरिमेय संख्या है अतः यह कथन असत्य है।
प्रश्नावली A14
1 . निम्नलिखित कथनों के निषेधन लिखिए,
(i) प्रत्येक धन वास्तविक संख्या ${\text{x}}$के लिए संख्या ${\text{x - 1}}$ भी धन संख्या है।
(ii) सभी बिल्लियां खरोंचती हैं।
(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या ${\text{x}}$ के लिए या तो ${\text{x}}\;{\text{ > }}\;{\text{1 }}$ या ${\text{x < 1 }}$
(iv) एक ऐसी संख्या ${\text{x}}$ का अस्तित्व है कि ${\text{0 < x < 1 }}$
उत्तर: कथनों के निषेथन -
(i) एक ऐसी धन वास्तविक संख्या ${\text{x}}$ है कि जिसके लिए $x-1$ धन संख्या नहीं है।
(ii) सभी बिल्लियाँ नहीं खरोंचती हैं।
(iii) एक ऐसी वास्तविक संख्या ${\text{x}}$ है जिसके लिए न तो ${\text{x}}\;{\text{ > }}\;{\text{1 }}$और न ही ${\text{x < 1 }}$
(iv) ऐसी कोई भी वास्तविक संख्या ${\text{x}}$ नहीं है जिसके लिए ${\text{0 < x < 1 }}$
2. निम्नलिखित सप्रतिबन्ध कथनों (अंतर्भाव) में से प्रत्येक का विलोम तथा प्रतिधनात्मक कथन लिखिए
(i) एक धन पूर्णांक अभाज्य संख्या है केवल यदि $1$ और पूर्णांक स्वयं के अतिरिक्त उसका कोई अन्य भाजक नहीं है।
(ii) मैं समुद्रतट पर जाता हूँ जब कभी धूप वाला दिन होता है।
(iii) यदि बाहर गरम है तो आपको प्यास लगती है।
उत्तर: (i) विलोम कथन : यदि एक धन पूर्णांक अभाज्य है, तो $1$ तथा स्वयं के अतिरिक्त इसका कोई अन्य भाजक नहीं है।
प्रतिधनात्मक कथन : यदि एक धन पूर्णांक के $1$ तथा स्वयं के अतिरिक्त अन्य भाजक भी हैं, तो वह धन पूर्णांक अभाज्य संख्या नहीं है।
(ii) विलोम कथन : यदि कभी धूप वाला दिन हो तो मैं समुद्र तट पर जाता हूँ।
प्रतिधनात्मक कथन : जब कभी धूप वाला दिन नहीं होता तो मैं समुद्र तट पर नहीं जाता।
(iii) विलोम कथन : यदि आपको प्यास लगी है, तो बाहर गर्म है। प्रतिधनात्मक कथन : यदि आपको प्यास नहीं लगी है तो बाहर गर्म नहीं है।
3. निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को 'यदि \[{\text{p,}}\] तो \[{\text{q '}}\]के रूप में लिखिए
(i) सर्वर पर लाग ऑन करने के लिए पासवर्ड का होना आवश्यक है।
(ii) जब कभी वर्षा होती है यातायात में अवरोध उत्पन्न होता है।
(iii) आप वेबसाइट में प्रवेश कर सकते हैं केवल यदि आपने निर्धारित शुल्क का भुगतान किया हो।
उत्तर: \[{\text{p,}}\] तो \[{\text{q '}}\]के रूप में
(i) यदि सर्वर पर लॉग ऑन है, तो आपको पासवर्ड ज्ञात है।
(ii) यदि वर्षा होती है, तो यातायात में अवरोध उत्पत्न होता है।
(iii) यदि आप निर्धारित शुल्क का भुगतान करते हैं, तो आप बेवसाइट में प्रवेश कर सकते हैं।
4. निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक को \[{\text{p,}}\]यदि और केवल यदि \[{\text{q '}}\] के रूप में लिखिए,
(i) यदि आप दूरदर्शन (टेलीविज़न) देखते हैं, तो आपका मन मुक्त होता है तथा यदि आपका मन मुक्त है, तो आप दूरदर्शन देखते हैं।
(i) यदि आप दूरदर्शन (टेलीविज़न) देखते हैं यदि और केवल यदि आपका मन मुक्त होता है यदि आपका मन मुक्त होता है, तो आप दूरदर्शन (टेलीविज़न) देखते हैं
(ii) यदि आप \[{\text{A}}\]ग्रेड प्राप्त कर सकते हैं यदि और केवल यदि आप नियमित रूप से समस्त गृहकार्य करते हैं।
उत्तर: \[{\text{p,}}\] यदि और केवल यदि \[{\text{q '}}\] के रूप में -
(i) आप दूरदर्शन (टेलीविज़न) देखते हैं यदि और केवल यदि आपका मन मुक्त होता है।
(ii) आप \[{\text{A}}\]ग्रेड प्राप्त कर सकते हैं यदि और केवल यदि आप नियमित रूप से समस्त गृहकार्य करते हैं।
(iii) एक चतुर्भुज समान कोणिक है यदि और केवल यदि वह एक आयत है
5. नीचे दो कथन दिए हैं,
\[{\text{p : 25}}\] संख्या \[5\] का एक गुणज है।
\[{\text{q : 25}}\] संख्या \[8\] का एक गुणज है।
उपरोक्त कथनों का संयोजक और तथा या द्वारा संयोजन करके मिश्र कथन लिखिए। दोनों दशाओं में प्राप्त मिश्र कथनों की वैधता जाँचिए।
उत्तर: 5.
'और' संयोजन द्वारा मिश्र कथन: \[25\] संख्या \[5\] और \[8\] का गुणज है। यह असत्य कथन है क्योंकि \[25\], \[8\] का गुणज नहीं है अतः \[{\text{p}}\] और \[{\text{p}}\]दोनों सत्य नहीं हैं।
'या' संयोजन द्वारा मिश्र कथन: \[25\] संख्या \[5\] या \[8\] का गुणज है। यह कथन सत्य है क्योंकि \[25,5\] का गुणज है अतः \[{\text{p}}\] सत्य है।
6. नीचे लिखे कथनों की वैधता की जाँच उनके सामने लिखित विधि द्वारा कीजिए।
(i) \[{\text{p :}}\] एक अपरिमेय संख्या और एक परिमेय संख्या का योगफल अपरिमेय होता है। (विरोधोक्ति विधि)
उत्तर:
(i) माना $\sqrt {\text{a}} $अपरिमेय और ${\text{b}}$ परिमेय संख्या है
दोनों संख्याओ का योग ${\text{b + }}\sqrt {\text{a}} {\text{ = m}}$
माना यह योग अपरिमेय नहीं है |
यदि ${\text{m}}$ अपरिमेय नहीं है तो परिमेय संख्या होगी, तो
${\text{b}}\;{\text{ + }}\;\sqrt {\text{a}} {\text{ = }}.......{\text{(1)}}$
जबकि \[{\text{p :}}\] और \[{\text{q :}}\] पूर्णांक हैं, \[{\text{q : }} \ne \;{\text{0}}\;{\text{ }}\] तथा उनमें कोई समान गुणनखण्ड नहीं है।
समीकरण (1) से, $\sqrt {\text{a}} {\text{ = - b}}$
बायाँ पक्ष ${\text{ = }}\sqrt {\text{a}} {\text{ = }}$ एक अपरिमेय संख्या
दायाँ पक्ष ${\text{ = - b = }}$ एक परिमेय संख्या
चूंकि दोनों समीकरण विरोधात्मक हैं।
अंतः योग ${\text{m}}$ परिमेय संख्या नहीं हो सकती है।
(ii) \[{\text{q :}}\] यदि \[{\text{n}}\] एक ऐसी वास्तविक संख्या है कि \[{\text{n > 3}}\] तो \[{{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{ > 9 }}\] (विरोधोक्ति विधि)
उत्तर: (ii) माना \[{{\text{n}}^{\text{2}}}{\text{ > 9 }}\]
नहीं है जबकि \[{\text{n > 3}}\]
${\text{n}}$ का मान ${\text{3 + a }}$ रखने पर
${\text{n = a + 3}}$
$\begin{align} & {{n}^{2}}={{(a+3)}^{2}}=\ {{a}^{2}}+6a\,+9\ =\ 9+({{a}^{2}}+6a) \\ & {{n}^{2}}>\ 9 \\ \end{align}$
पूर्वनिधारित कथन और ये कथन विरोधात्मक है ।
अतः जब $x > 3$ और ${{x}^{2}}>9$
पूर्व में माना गया कथन और यह कथन विरोधातक है। अतः जब ${\text{x > 3}}$तो ${{\text{x}}^{\text{2}}}{\text{ > 9}}$
7. निम्नलिखित कथन को पाँच भित्न-भित्र तरीकों से इस प्रकार व्यक्त कीजिए कि उनके अर्थ समान हों।
\[{\text{q :}}\] यदि एक त्रिभुज समान कोणिक है तो वह एक अधिक कोण त्रिभुज है।
उत्तर: पाँच समान अर्थ वाले कथन :
(i) एक त्रिभुज के समान कोणिक होने के लिए यह अनिवार्य है कि त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज हो।
(ii) एक त्रिभुज समान कोणिक है यदि और केवल यदि त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज है।
(iii) "एक त्रिभुज समान कोणिक है' का अंतर्भाव है कि यह अधिक कोण त्रिभुज है।
(iv) एक त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज होने के लिए यह प्रायप्त है कि वह समान कोणिक है |
(v) यदि एक त्रिभुज अधिक कोण त्रिभुज नहीं है तो वह समान कोणिक त्रिभुज नहीं है
NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 14 Mathematical Reasoning in Hindi
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